记 $d_n$ 表示 $n$ 的约数个数。

有 $d_{ij}=\displaystyle\sum_{x\mid i}\sum_{y\mid j}[x\perp y]$，其中 $\perp$ 表示互质。

证明直接考虑在 $ij$ 的任意一个约数和 $(x,y)$ 之间构造双射即可。